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麻省理工公开课线性代数,MIT线性代数总结笔记——Ax=0和Ax=b

admin admin 发表于2023-12-26 23:36:02 浏览19 评论0

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本文目录一览：

麻省理工公开课 线性代数(1)方程组的几何解释

麻省理工线性代数公开课对于考研党来说有用么

国内本科的线性代数和国外的不太一样。考研的话还是找国内的资料吧，用李永乐或者其他人的。mit的线性代数中涉及到的知识点有的是矩阵论的，考研根本用不到。
考研是知识和技巧性考试。建议考什么就学什么，大纲不同，有的放矢方能有效利用时间！
有用但是用处不大，推荐你看李永乐的课
没有必要。用二李，李王，张宇等复习资料更贴合考试内容。

MIT 线性代数 22 对角化和A的幂，差分方程的线性代数解法

假设矩阵 有 个线性无关的特征向量 ，这些特征向量按列组成特征向量矩阵
则


（ 称为对角特征值矩阵）

也就是
我们可以写成如下形式
这就是矩阵 的对角化方法

或


其中我们把 这是一个新的矩阵分解方法，我们之前消元的时候有 分解，以及施密特正交化的 分解

如果我们尝试对 的幂次方做计算，比如A的平方

于是同理可得有

也就是 的这种特征值对角化分解方式对于求 的幂次计算非常方便

给定差分方程



这样的问题，当 可对角化时，即存在 个 不同的特征向量以及对应的特征值的情况下，即A是满秩的，也是可逆的
那么很显然可以把 用A的特征向量进行线性组合表示，

于是
其中 是矩阵 的特征向量
,其中 表示矩阵 的各个特征向量对应的特征值
于是我们得到



这里举了一个斐波那契数列的例子
众所周知，斐波那契数列排列方式是 ，

即有

参考前面的例子我们可以这么写
追加一个等式得到方程组


如果我们令向量
于是就会有


也就是

其中特征矩阵c

令
马上可以求出特征值是
其特征向量即 的零空间 有



由前面的推论我们知道,特征向量 和 ,进行线性组合能得到
所以
而A又是可对角化的矩阵，所以



我们注意到第二项 为负数，意味着平方后这一项 整体收敛到无穷小，这意味着 数组系列的取值基本上由 决定

因为

于是可以解出

,,

于是我们甚至求出了斐波那契数列的通项公式





我们只看下面的 的展开



这就是斐波那契数列的通项公式

国内线性代数到底差在哪？——看MIT线代公开课有感而作

这个寒假期间，在网上找了MIT的Gilbert Strang老爷子的线性代数公开课自学。虽然还只看了一半左右，但是感觉对线性代数这门课有了一个颠覆性地理解和学习过程，与之前上的线性代数课程中所使用的教材以及老师讲课方式一对比，不由得发出相见恨晚的感慨。

之前在知乎上读了一篇文章：《《线性代数》（同济版）——教科书中的耻辱柱》，当时就深以为然，毕竟我们线代所用的教材也可以说是“抄”的这本同济教材。现在，听着老爷子精彩绝伦的授课，一边庆幸自己的幸运，一边吐槽着之前的教材：怎一个烂字了得！

这绝不是崇洋媚外，国内外线性代数这门课究竟差别在哪，请允许我简要总结一番。

首先先来对国内同济系列（即同济版线性代数以及根据它“抄”的一系列教材）来个简单批判吐槽。

最直观的槽点便是它最伟大的作用就是通过各种堆砌、填塞、罗列各种定义来使学生们感到痛苦。刚入门接触线代，一堆简直不是人话的定义就扑面而来：是的，我背下来了秩的定义，有什么意义吗？我作为学生，根本不懂我学的这些东西是干嘛的啊！学完了前两章（矩阵及行列式），仍旧是懵懵懂懂，无非是了解了一堆名词的概念而已。

其次就是完全忽视线性代数应该是一门应用性很强的学科。很难想象作为大学的必修课的教材，整本书里面只能看出两个字：做题。再细看其实还有另外几个字：应试！

没错，国内的线性代数教材，其目的根本不是教授线性代数这门课程，它纯粹只是为了把学生们往做题机器的方向引领：不理解这门课程，不理解各种推导？没关系啊！你只要背下来这些定义，选择题不就能得分了吗？你只要记下来矩阵的运算，掌握一些所谓的“技巧”，一直刷题，不就能考过试了吗？

比如说极其离谱的用大篇幅去介绍克拉默法则，还用一堆习题来巩固练习，还划为考试重点：如果不是脑子瓦特了，谁会去选择用克拉默法则！至于你拿了九十分跟你学会这门课是否有直接关系，我是不太清楚的，大抵学校认为有着直接等价的关系吧！

而伴随着纯粹为应试为目的，整个教材的编写就必然表现出结构的无比混乱：用一半的篇幅去介绍行列式、矩阵、运算和做题技巧。课程过去大半后，终于出现了向量的概念，我们所学习的线性代数，在课程过半时，终于跟向量这一最核心的概念联系在一起了！

当真是感激涕零，倍感欣慰，我终于知道那面目可憎的矩阵其实跟向量联系在一起！此时我已经背下来了大量的定义，熟悉了各种运算和题型，但是我却对线性代数到底有什么用一无所知。

与之相对的，Gilbert Strang老爷子每堂课只有40分钟左右，但在第五节课时就已经引入了向量的概念。所谓的克拉默法则只是放到很后面一个不起眼的位置，占用了一节课不到的时间。且第一堂课从方程组的几何解释入手：这才是线性代数该有的切入点！

难道不就应该这样先提出整门课该解决的大问题A，然后才拆分成B+C+D......等小章节去研究吗？然后再回过头来深入研究A；国内教材倒好，完全反过来：先把B、C、D的各种定义，运算，不管你能不能接受，全部堆砌上来，再介绍一些特俗例子，美其名曰是帮助学生理解。

在对B、C、D一顿填鸭式教育后，才娇羞地、像个小女人般把这门课的庐山真面目揭开展现在已经两眼无神的学生们面前，骄傲地喊：“我已经教会了你们BCD所有概念，你们现在面对A这个大问题应该能迎刃而解了吧！”于是课程学完了，学生们痛苦地发现什么都没学会，于是又只能痛苦地自学着那教材，痛苦地进入考场。

除了结构上的合理之处，MIT线性代数最大的优点就是简明清晰。上文提到，老爷子每堂课都只有四十多分钟，可每听完一节课我都感到很系统的学习到了一章节的知识点——相当于之前大一一堂三小时线性代数课的内容。

究其原因，老爷子已经把深入浅出这四个字诠释到了极致。他上课时并不注重对定义的咬文嚼字、讲授。因为他清楚只要自己举例恰当，同学们又不是傻子，总能有个大致的理解。并且每节课并不会讲如何去做题，而是重视该用怎么样最简单的言语使学生对线性代数这门课有一个全面的了解：当作一种学科、工具去理解而不是当做一门考试。

Gilbert Strang老爷子的课程简单到了一种什么样的程度呢？直观一点，以我的体会来举例：我英语水平并不是特别的好，但是即使是不看字幕，我也能听懂、看懂整堂课！

说了这么多，再次重申并不是只为了批判国内教材和课程设置，崇洋媚外。其一是我们国内的线性代数课程，受到教材的局限性，确实存在一些很普遍的问题与不足需要解决，其二也是在这里向各位想真正学好线性代数的同学们安利MIT的Gilbert Strang老爷子的线代课：真是极其难得的学习资源。

希望我们自己的教材也能够早点改善、进步，让以后的学生们能够不这么痛苦地填充式学习线代这一门非常重要、实用的课程吧！

最后引用B站一位网友的评价： “大师之作，很像一个人用狂热的爱去告诉你它的美丽。我终于知道什么才叫热爱，什么才是学习，不是信息的堆砌，是人性对于物性的美丽赋予。”

麻省理工公开课的数学老师是谁

下次提问请注明授课内容，线性代数，微积分，还是常微分方程，或者是实变函数，其中线性代数是由Gilbert Strang讲授的，微积分是由David Jerison教授的，其他教师可在mito cw上找到，其实看视频用处不大，看他们编写的教材就可以了，最主要是做题，其中单变量微积分我就大约做了4000道习题，用的是stewart的教材，希望能帮到你

有哪些口碑好的大学网络公开课值得推荐？

以下是一些口碑好的大学网络公开课值得推荐：
1.哈佛大学的《公正》：由迈克尔·桑德尔教授讲授的一门关于道德和政治哲学的课程，深受广大学生和公众的喜爱。
2.斯坦福大学的《人工智能导论》：由斯坦福大学计算机科学系的吴恩达教授讲授的一门介绍人工智能基础知识的课程，内容深入浅出，适合初学者。
3.麻省理工学院的《线性代数》：由麻省理工学院数学系的基斯·德夫林教授讲授的一门线性代数课程，讲解清晰，适合对数学感兴趣的学生。
4.牛津大学的《哲学概论》：由牛津大学哲学系的吉尔·布莱克本教授讲授的一门哲学入门课程，涵盖了伦理学、形而上学、政治哲学等多个领域。
5.耶鲁大学的《金融市场》：由耶鲁大学经济学系的罗伯特·席勒教授讲授的一门关于金融市场和投资的课程，内容丰富，适合对金融领域感兴趣的学生。
6.剑桥大学的《宇宙的起源》：由剑桥大学天文学系的斯蒂芬·霍金教授讲授的一门关于宇宙起源和演化的课程，内容深入，适合对天文学感兴趣的学生。
以上是一些口碑好的大学网络公开课，这些课程不仅内容丰富，而且讲解清晰，适合各个学科领域的学生学习。无论是对知识的追求还是对个人兴趣的培养，这些课程都值得一试。

MIT线性代数总结笔记——Ax=0和Ax=b

那么我们如何求解 呢？还是使用消元法，之前我们说使用消元法求解方程 时，我们对一种情况是无法处理的，那就是矩阵 不可逆的情况，之前对这种情况的解释是 求出的解不唯一 ，这其实正好对应了现在我们所认识到的“空间”的概念。我们从最简单的零空间（ ）的计算谈起。
例1： ，求 中的 构成的零空间
先将方程写出，如下

首先观察矩阵 我们发现，第三行是前两行的和，这意味着即使主元为 ，我们也得继续消元下去。那么按部就班，有

在消元的过程中，我们发现矩阵 的 主元（Pivot） 数量为 （ 和 ），主元的个数称为矩阵的 秩（Rank) ，因此在本题中矩阵 的秩为 。
接下来就是回代求解了，由于消元得到的 不是一个严格的上三角矩阵，对角线上的 给我们造成了解不唯一的麻烦，所以这里我们先来声明几个概念
中，列 和 被称为 主列（Pivot Columns，主元所在的列） ，其余两列 和 被称为 自由列（Free Columns） ，所谓自由列就是表示其对应的未知变量 （ 表示自由列是第 列）可以被任意分配值。因为回代求解时，只有主列对应的未知数的解有确定值。因此矩阵 中的 主变量（主元） 为 和 ， 和 为 自由变量 。
（1）我们假设，令 ，代入方程

解得

因此当 时，解向量为 ，这只是零空间中的一个解，这个解表示 倍的列 倍的列 ，如果想找出更多零向量中的解，我们只需要求它的倍数，所以 ，这是一条在四维空间中无限延伸的直线，但它不是整个零空间。
（2）我们再令 ，代入方程

解得

因此当 时，解向量为 ，因此另一条在四维空间中的直线为
那么还能为 赋其他值吗？很明显其他情况都可以被 和 的线性组合所涵盖，所以这两个解向量足够代表空间的特征了，我们称这两个解向量为 特解 ，其特殊之处在于我们给自由变量赋值为 和 。通过特解的任意倍的线性组合，可以构造出整个零空间。因此便得出了矩阵 的零空间

对于一个 的矩阵A，若其秩为 ，那么意味着其主变量为 个，而自由变量为 个。也就是说，只有 列起作用。我们需要先对矩阵 进行消元，得到 个主元，由于有 个变量 ，我们再将其中的 个自由变量依次赋值为 。接着求解方程的特解，将特解的任意倍进行线性组合即可得到矩阵 的零空间。
尽管上面的消元法看上去已经很完美了，但事实上仍有化简的余地，最后得到的 矩阵仍可以被进一步化简。我们以上文中的 为例，继续化简的目标是令对角线上的主元为1，并且通过列交换将主元放在一起，把自由列放在一起来构成新的矩阵，操作如下

也就是说最终我们能将上三角矩阵 化简成矩阵 ，矩阵 的一般形式为

其中， 表示主列，由于 个主列的主元被化简成了 ，因此这部分变成了 维单位矩阵， 表示自由列，共有 个自由列。有了矩阵 我们可以改写 的表达形式

这里的 为零空间矩阵，即各列向量由特解组成的矩阵

需要注意的是，这里的单位矩阵和矩阵 中的有所不同，这里的 是 维的，是将 个自由变量分别赋值为 或 得到的。将上文中的示例代入到 和 ，得到

由于 和 是主列， 和 是自由列，因此只需交换零空间矩阵中的第2、3行即可得到特解 和 。 因此将矩阵 化简称矩阵 可以直接求解零空间。 我们用下面一个例题来试验一下：
例 ，求解 中 构成的零空间。
（1）将 消元为 ：
（2）将 化简为 ：
（3）得到零空间矩阵 ：
（4）得到零空间：
对于 我们知道这个方程不一定有解，在之前的章节中说明了 是否有解取决于 是否在 的列空间中，我们再通过一个例子来说明一下
例 求方程 的可解条件。
在这个方程中，观察矩阵A，发现矩阵中第三行为第一行和第二行的和。根据之前的Gauss-Jordan消元法，我们可以得到

代入方程，会发现最后一行 ，这一行方程必须成立，因此这一行就是方程的可解条件。同时，它还反映了 向量的第三个分量是前两个分量之和，这也与矩阵 的特点一致，这也印证了 是否有解取决于 是否在 的列空间中。
结合之前的章节总结出 有解条件：
接下来介绍通解和特解，通解就是满足方程所有的解，将“无穷解”用一种形式表达出来，对于 这个方程

因为矩阵零空间向量代入方程最后结果等于 ，所以它不会影响等式，而是把方程的解向量扩展到一个类似子空间上，使我们求出的解更具有普遍意义，而求解零空间我们在上文也已经介绍，下面我们只需要关注如何求特解即可。在之前求解 方程的特解时，我们分别将自由变量赋值为 或 ，得到

观察这个表达式会发现，只要将系数 和 定为 就可以得到零空间中的零向量，而且我们不能在求解 时将自由变元都赋为 。但是在 中，只要 不是 ，我们就可以将自由变元全部赋为 ，使用此方法即可得到特解。
接下来补充上述例题中方程的条件

Gauss-Jordan消元后得到

将 回代方程得到

解得特解为
利用上一节的知识我们很容易求出 的零空间为

因此 的解为

这个解集在几何角度的解释是 上的一个不过原点的二维平面，显然这个解集无法构成一个向量空间，因为解集中不包含零向量。
我们在消元求 的过程中会发现，矩阵的秩对最后解的形式有着重要的影响，下面我们来总结一下其中的规律。
对于 的矩阵 ，列满秩时，意味着没有自由列， ，此时零空间中只有零向量（不需要求零空间）， 的解要么有解且唯一（特解 ），要么无解。例如

消元，由于两列线性无关，因此只有两个主元，逐行减去第一行的若干倍，行三和行四清零，得到第二个主元，然后各行都减去第二个主元的若干倍，最终第二个主元化为 的得到矩阵

对于 的矩阵 ，行满秩时，意味着有 个主元（每一行各一个）， ，此时自由变元有 个，必然有解而且有无穷多解，例如

最后我们会消元得到
对于 的矩阵 ，行列满秩时，意味着矩阵可逆， ，此时自由变元有 个，经过消元，最终矩阵可化为单位矩阵 ，即一个全是主元的方程组，最终只能有一个唯一解。例如

最后消元得到
对于 的矩阵 ，不满秩时，意味着通过消元最终会得到 ，因此方程的解要么无解，要么无穷多解（特解+零空间所有向量）
综上所述，会发现自由变量总为 个，所以通过判断自由变元的个数可以初步判断 的解的结构：如果没有自由变元，意味着方程的解唯一或者无解；如果存在自由变元，意味着方程的解有无穷多解或者无解。也就是说，自由变元是否存在决定了方程的解是否唯一。另一点是，可以通过观察消元后矩阵 是否存在 行来进一步判断方程是否有解：如果矩阵 中没有零行时，意味着方程一定有解；如果存在零行，则需要考虑方程是否满足可解条件。
除此之外，我们还发现了零空间实际上就是用来判断矩阵 的各列向量是否是线性无关的，如果各列向量是线性无关的，那么零空间中只有零向量，如果各列向量是线性相关的，那么零空间中除了零向量还有其他向量。因此零空间反映的就是 各列向量的线性组合。
当我们求解方程时，例如

矩阵表达如下

除了使用消元法或判断矩阵是否满秩以外，我们还可以从列空间的角度来看这个方程，改写一些这个矩阵表达如下

那么我们判断这个方程是否有解的条件实际上就是判断向量 是否在以向量 和向量 构成的列空间中，换句话说，向量 是否可以表达成向量 和向量 的线性组合。由于向量 和向量 是线性无关的，因此可以张成一个二维平面，而向量 只是其中的一个二维向量，因此可以推断出方程一定有解。

怎么学习人工智能？

第一步：复习线性代数。（学渣的线代忘了好多-_-||）
懒得看书就直接用了著名的——麻省理工公开课：线性代数，深入浅出效果拔群，以后会用到的SVD、希尔伯特空间等都有介绍；
广告：边看边总结了一套笔记 GitHub - zlotus/notes-linear-algebra: 线性代数笔记。
第二步：入门机器学习算法。
还是因为比较懒，也就直接用了著名的——斯坦福大学公开课 ：机器学习课程，吴恩达教授的老版cs229的视频，讲的非常细（算法的目标->数学推演->伪代码）。这套教程唯一的缺点在于没有介绍最近大火的神经网络，但其实这也算是优点，让我明白了算法都有各自的应用领域，并不是所有问题都需要用神经网络来解决；
多说一点，这个课程里详细介绍的内容有：一般线性模型、高斯系列模型、SVM理论及实现、聚类算法以及EM算法的各种相关应用、PCA/ICA、学习理论、马尔可夫系列模型。课堂笔记在：CS 229: Machine Learning (Course handouts)，同样非常详细。
广告：边看边总结了一套笔记 GitHub - zlotus/notes-LSJU-machine-learning: 机器学习笔记
第三步：尝试用代码实现算法。
依然因为比较懒，继续直接使用了著名的——机器学习 | Coursera ，还是吴恩达教授的课程，只不过这个是极简版的cs229，几乎就是教怎么在matlab里快速实现一个模型（这套教程里有神经网络基本概念及实现）。这套课程的缺点是难度比较低，推导过程非常简略，但是这也是它的优点——让我专注于把理论转化成代码。
广告：作业参考 GitHub - zlotus/Coursera_Machine_Learning_Exercises: Machine Learning by Andrew Ng from Coursera
第四步：自己实现功能完整的模型——进行中。
还是因为比较懒，搜到了cs231n的课程视频 CS231n Winter 2016 - YouTube ，李飞飞教授的课，主讲还有Andrej Karpathy和Justin Johnson，主要介绍卷积神经网络在图像识别/机器视觉领域的应用（前面神经网络的代码没写够？这门课包你嗨到爆~到处都是从零手写~）。这门课程的作业就更贴心了，直接用Jupyter Notebook布置的，可以本地运行并自己检查错误。主要使用Python以及Python系列的科学计算库（Scipy/Numpy/Matplotlib）。课堂笔记的翻译可以参考 智能单元 - 知乎专栏，主要由知友杜客翻译，写的非常好~
在多说一点，这门课对程序员来说比较走心，因为这个不像上一步中用matlab实现的作业那样偏向算法和模型，这门课用Python实现的模型同时注重软件工程，包括常见的封装layer的forward/backward、自定义组合layer、如何将layer组成网络、如何在网络中集成batch-normalization及dropout等功能、如何在复杂模型下做梯度检查等等；最后一个作业中还有手动实现RNN及其基友LSTM、编写有助于调试的CNN可视化功能、Google的DeepDream等等。（做完作业基本就可以看懂现在流行的各种图片风格变换程序了，如 cysmith/neural-style-tf）另外，这门课的作业实现非常推崇computational graph，不知道是不是我的幻觉??要注意的是讲师A.K的语速奇快无比，好在YouTube有自动生成解说词的功能，准确率还不错，可以当字幕看。
广告：作业参考 GitHub - zlotus/cs231n: CS231n Convolutional Neural Networks for Visual Recognition (winter 2016) （我的在作业的notebook上加了一些推导演算哦~可以用来参考:D）

“线性代数'在没有高数基础的情况下，如何自学？本人自考生。

理解概念，多做多练多总结。比较万金油。
买本辅导书就够了，很容易的！
可以学习麻省理工的公开课 讲的非常好
线性代数和高数没关系
而且线代比较 简单
教材：《线性代数(原书第7版) 机械工业出版社》
视频：网易公开课——《线性代数》

线性代数问题？

线性代数到底应该怎么学？
马同学
马同学?
数学话题下的优秀回答者
无法理解线性代数的原因有很多，本文主要来讲讲各大高校使用的主流教材同济大学版的《线性代数》的问题。
之前写过一篇无法理解高等数学怎么办的文章，对同济大学版的《高等数学》教材进行过一些评论，认为这本教授微积分的主流教材的问题在于坡度太陡了，但逻辑主线是没有问题的，所以我们在创作《马同学单变量微积分》内容时基本上还能和此书的目录结构保持一致。
但同济大学版的《线性代数》问题就很大了，随便摘选下豆瓣的书评：
这本同济大学版的《线性代数》担得起“误人子弟”这四个字，根子上就有问题，拿着这本书学不好也情有可原。我们在创作《马同学线性代数》内容时，虽然目标是覆盖同济大学版的《线性代数》，但迫不得已对逻辑结构、目录结构进行了大规模的调整。
下面来具体讲讲同济大学版的《线性代数》问题出在哪里吧。
1 线性代数的大致内容
1.1 向量、矩阵、行列式
先简单介绍下线性代数讲的是什么内容。一个立方体、一根直线、一个平面都是线性的：
用向量就可以表示它们，比如说下图就展示了可以用三个向量[公式] 、[公式] 、[公式] 以及向量的加减法就可以表示一个立方体：
而矩阵可以对向量进行变换，比如通过旋转矩阵可以让某个正方形变换为旋转后的正方形：
而行列式代表的是矩阵变换前后的面积（体积）之比：
很显然旋转正方形不会导致面积改变，所以旋转矩阵变换前后的面积之比为1，或者说行列式为1：
[公式]
至此，线性代数最重要的几个概念就出现了，然后就可以用它们去解决实际问题了。
1.2 线性方程组
线性代数最早出现就是为了求解线性方程组，假如想求解下列线性方程组：
[公式]
其实就是要求出这两个方程所代表的直线的交点：
再复杂点的线性方程组：
[公式]
无外乎也是求这些方程所代表的平面的交点、交线、交面：
所以，可以通过向量组把这些直线、平面表示出来，然后通过矩阵对这些直线、平面进行变换，再用行列式判断变换的结果，最终找到方程组的解。大概就是这么一个思路吧，细节还很多，这里就不细说了。
2 同济版《线性代数》中的行列式
2.1 定义式
同济版《线性代数》的第一单元就是介绍行列式，首先介绍了二阶行列式代表如下算法：
三节行列式代表了更复杂的计算方法，因为比较复杂，所以可以靠对角线法则来进行记忆：
至于更高阶的行列式代表的计算方法就必须靠全排列和逆序数才能说得清楚，最终给出了行列式的定义：
[公式] 阶行列式定义为：
[公式]
其值为：
[公式]
其中，[公式] 为排列[公式] 的逆序数。
我就问问你，那个高考结束没有多久、刚刚过了一个愉快的暑假、背井离乡、来到一个陌生的地方、开始新的学习生活的你，看到这个定义怕不怕？
因为行列式是考试重点，所以紧接着就给出了十多条行列式的性质，条条看上去都凶神恶煞。
2.2 线性方程组
然后介绍了一个克拉默法则，使得可以通过行列式求解线性方程组的解。具体的算法如下，假如说线性方程组：
[公式]
有唯一解，那么所求的[公式] 、[公式] 为：
[公式]
其实克拉默法则是有明确几何意义的。同济版《线性代数》这样介绍行列式以及它的用法，整个一单元一副几何图像都没有，会让你没有办法获得数学的直觉，造成很大的学习负担。
3 同济版《线性代数》更大的问题
整本书既没有强调矩阵是对向量的变换，也没有说明行列式的几何意义是变换前后的比例，这样就生生割断了矩阵和行列式之前的联系，造成我们对线性代数在后继学科中的应用缺乏全局的理解，所以也搞不清楚为什么要学习线性代数。
比如在学习多变量微积分的时候，已知[公式] 是这么一个三维光滑曲面：
可以通过如下公式来求解它的面积：
[公式]
其中[公式] 指的是曲面面积，[公式] 是[公式] 在[公式] 平面的投影。
这个公式应该怎么理解呢？根据微积分的思想，可以把这个曲面切成很多小份，其中某一小份的曲面面积[公式] 可以用它的切平面的面积[公式] 来近似（也就是有[公式] ）：
[公式] 在[公式] 平面上的投影为[公式] ：
现在我们有两个平面了，一个是[公式] ，一个是[公式] ，根据之前对线性代数的介绍，这两个平面可以通过某个矩阵（也就是导数[公式] ）完成转换：
[公式]
那么这两个面积的比例就为该矩阵的行列式，所以最终可以得到（详细推论过程见如何解释曲面面积公式）：
[公式]
4 小结
综上，同济版《线性代数》主要有以下的问题：
线性代数是几何意义非常明确的数学学科，而此书内几乎毫无几何图像的讲解，导致同学完全无法建立直觉
逻辑关联性差，行列式和矩阵各行其是（以及其它的线性代数概念），似乎毫不相关，让同学无法融会贯通
仅限于代数计算，没有大局观，妨碍了其它学科的深造
作为主流教材，作为业界标杆，就算有识之士想为它写教辅，也很难不被带歪。如果不按照它的体系来写又需要一定的勇气
大家在学习的时候一定要开一个好头，可以选择参加我们的付费课程《马同学线性代数》；或者重新购买比同济版《线性代数》更好的教材，比如《线性代数及其应用》；或者观看B站、网易公开课等知名公开课视频、知名博主的视频。
编辑于 2019-05-20
收起?
飞翔的猫飞翔的猫2019-05-20
这本书就像一部蹩脚的操作手册。
月下风前月下风前2019-05-20
说的真是太棒了。。一直搞不懂行列式和矩阵的关系。
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第一，本题可以使用顺序主子式来判定。应该是楼主算错了，B的行列式就为0，也就是四阶主子式为0。
第二，本题直接判断每个式子中的四个括号内式子为0，是否存在非零解就可以判断是否为正定。
A x1=x2=x3=x4=1时 f为0。
B x1=x3=1，x2=x4=-1时，f为0。
C x1=x2=1，x3=x4=-1时，f为0。
D 当且仅当x1=x2=x3=x4=0时，f为0
故选D
线性代数怎么学呢？
1。一定要选一本好的教材。学习这东西，尤其自学，书本是唯一的老师。一般大师级的作品都能将深奥的道理讲的浅显易懂，而且读完以后还让你感觉回味无穷。考研一般都用的同济四版作为参考资料。
2。如果是要为考研做准备的话。首先怎么样也要把课本重新看一遍。读透每一个知识点。其实线形这门课程没有什么难理解的东西（相对概率而言）。主要就是一些概念，一些解题思路需要多看，多想。熟能生巧。大学中普遍反映这是一门比较简单的数学课程。
3。其次就是做题。任何一门数学学科，不做题是肯定不行的。但是做题的时候，往往有些人进入误区，喜欢题海战术。其实这是不明智的。应该根据自己对课程掌握的程度。划分3个时期:
（1）夯实基础期。多做一些基础题。这个时候的明显特征是概念还不太熟悉。遇到问题的某个知识点，还咬不准。重点做科后题。
（2）查漏补缺期。这时候基本拿到一个题。已经知道用到哪部分的内容了。具体的公式已经烂熟于心了。可找一些配套参考书进行复习。在遇到经过思考，仍记不起，或不确定的知识点时，再查资料书。
（3）冲刺阶段。做一些历年考研的数学一试卷的线代部分。这些题往往是比较具有综合性的。这时候只有这些题，才能真正的提高你。不要怕花两个小时去做一道题。绝不轻易查阅资料书或者翻看答案。通过努力解决一道题对你的帮助是最大的。
作题时间分配:第一期一个月，第二期两个月，第三期一个月（按每周5天，每天3小时计）。
如图，4阶主子式为0
可以倒是可以，但是太麻烦了，
首先要拆开，再写行列式，最后求各阶主子式，繁琐，而且容易算错。
直接用定义法，简单快捷
其他项a1a2aa3a4=1，不正定